Rozważmy sformułowanie silne dla równania transportu ciepła:

Dla obszaru \( \Omega=(0,1) \subset {\cal R} \) szukamy pola skalarnego \( \Omega \ni x \rightarrow u(x) \in {\cal R} \) zadanego funkcją gładką \( u \in C^2 \) taką że \( -\frac{d}{dx}\left(k\frac{du}{dx}\right)=0 \textrm{ dla } x\in (0,1) \) wraz z warunkiem brzegowym Dirichleta \( u(0)=u_0 \) i warunkiem brzegowym Cauchy'ego \( ku'(1)+h u(1)=hu_z \).

Sformułowanie słabe:
Dla obszaru \( \Omega=(0,1) \subset {\cal R} \) szukamy pola skalarnego \( u \in V=\{ H^1\left(\Omega \right):v(0):0\} \) takiego że
\( B(u,v)=L(v) - B(\hat{u},v) \quad \forall v\in V \) gdzie \( B(u,v)=\int_0^1 k \frac{du}{dx}\frac{dv}{dx}dx + hu(1)v(1) \) oraz \( L(v)= hu_zv(1) \) gdzie
\( \hat{u}=u_0(1-x) \) to rozszerzenie warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar.

Konstrukcja przestrzeni elementów skończonych: Element wzorcowy (geometria, funkcje kształtu, operator interpolacji przez projekcje)
\( \hat{K}=(0,1) \)
\( \hat{\chi}_1(x)= 1-\xi; \quad \hat{\chi}_2(\xi)=\xi; \quad \hat{\chi}_3(x)= \xi(1-\xi) \)
\( X(\hat{K})=span\{ \hat{\chi}_1,\hat{\chi}_2, \hat{\chi}_3\} \)
\( \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right) \)
\( \Pi_p u(0)=u(0) \)
\( \Pi_p u(1)=u(1) \)
\( \| \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0,1) }\rightarrow min \) gdzie \( \| \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0,1)} = \int_0^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi \)

Pierwszy element skończony (geometria, funkcje kształtu, operator interpolacji przez projekcje)
\( K_1=(0,0.5) \)
\( \chi_1^1(x)= 1-2x \textrm{ dla } x\in (0,0.5) \)
\( \frac{d\chi_1^1}{dx}(x)= -2 \textrm{ dla } x\in (0,0.5) \)
\( \chi_2^1(x)= 2x \textrm{ dla } x\in (0,0.5) \)
\( \frac{d\chi_2^1}{dx}(x)= 2 \textrm{ dla } x\in (0,0.5) \)
\( \chi_3^1(x)= 2x(1-2x) \textrm{ dla } x\in (0,0.5) \)
\( \frac{d\chi_3^1}{dx}(x)= 2-8x \textrm{ dla } x\in (0,0.5) \)
\( X(K_1)=span\{ \chi_1^1,\chi_2^1,\chi_3^1 \} \)
\( x_{K_1} : \hat{K} \rightarrow K_1, \quad x_{K_1}(\xi)=0.5\xi \)
\( \Pi_p:H^1\left( K_1 \right) \rightarrow X\left( K_1\right) \)
\( \Pi_p u(0)=u(0) \)
\( \Pi_p u(0.5)=u(0.5) \)
\( \| \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0,0.5)}\rightarrow min \)
gdzie \( \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1_0(0,0.5)} = \int_0^{0.5} \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi \)

Drugi element skończony (geometria, funkcje kształtu, operator interpolacji przez projekcje)
\( K_2=(0.5,1) \)
\( \chi_1^2(x)=2-2x \textrm{ dla } x\in (0.5,1) \)
\( \frac{d\chi_1^2}{dx}(x)= -2 \textrm{ dla } x\in (0.5,1) \)
\( \chi_2^2(x)= 2x-1 \textrm{ dla } x\in (0.5,1) \)
\( \frac{d\chi_2^2}{dx}(x)= 2 \textrm{ dla } x\in (0.5,1) \).
\( \chi_3^2(x)= (2x-1)(2-2x) \textrm{ dla } x\in (0.5,1) \)
\( \frac{d\chi_3^1}{dx}(x)= 6-8x \textrm{ dla } x\in (0,0.5) \)
\( X(K_2)=span\{ \chi_1^2,\chi_2^2,\chi_3^2 \} \)
\( x_{K_2} : \hat{K} \rightarrow K_1, \quad x_{K_2}(\xi)=0.5\xi+0.5 \)
\( \Pi_p:H^1\left( K_2 \right) \rightarrow X\left( K_2\right) \)
\( \Pi_p u(0.5)=u(0.5) \)
\( \Pi_p u(1)=u(1) \)
\( \| \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0.5,1)}\rightarrow min \)
gdzie \( \| \Pi_p u -u \|_{H^1(0.5,1)} = \int_{0.5}^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi \)

Globalne funkcje bazowe
\( e_1(x)=\chi_1^1(x) \)
\( e_2(x)=\chi_2^1(x)+\chi_1^2(x) \)
\( e_3(x)=\chi_2^2(x) \)
\( e_4(x)=\chi_1^3(x) \)
\( e_5(x)=\chi_2^3(x) \)

Przestrzeń aproksymacyjna
\( V_{hp}=V_{0.5,2}=span\{ e_2, e_3, e_4,e_5 \} \subset H^1(0,1) \), gdzie pierwsza funkcja bazowa została usunięta żeby zapewnić spełnianie warunku brzegowego Dirichleta w zerze.

Sformułowanie problemu metody elementów skończonych na siatce obliczeniowej:
Dla obszaru \( \Omega=(0,1) \subset {\cal R} \) szukamy współczynników \( \{ u_i \}_{i=1,...,5} \) kombinacji liniowej \( u \approx u_{hp}= \sum_{i=1,...,5} u_i e_i \in V_{hp} \) takiej że
\( B(u_{hp},v_{hp})=L(v_{hp}) -B(\hat{u},v) \quad \forall v_{hp} \in V_{hp}: v_{hp}(0)=0 \)
gdzie \( B(u_{hp},v_{hp})=\int_0^1 k \frac{du_{hp}}{dx}\frac{dv_{hp}}{dx}dx + hu_{hp}(1)v_{hp}(1) \) oraz \( L(v_{hp})= hu_zv_{hp}(1) \).

Współczynniki kombinacji liniowej będące rozwiązaniem problemu sformułowania słabego dyskretnego znaleźć można rozwiązując poniższy układ równań:

\( \begin{bmatrix} B(e_2,e_2) & B(e_2,e_3) & B(e_2,e_4) & B(e_2,e_5) \\ B(e_3,e_2) & B(e_3,e_3) & B(e_3,e_4) & B(e_3,e_5) \\ B(e_4,e_2) & B(e_4,e_3) & B(e_4,e_4) & B(e_4,e_5) \\ B(e_5,e_2) & B(e_5,e_3) & B(e_5,e_4) & B(e_5,e_5) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L(e_2)-B(\hat{u},e_2) \\ L(e_3) -B(\hat{u},e_3)\\ L(e_4) -B(\hat{u},e_5)\\ L(e_5) -B(\hat{u},e_5) \end{bmatrix} \).